Euler’s theorem：
a , n aφ(n)≡1(mod n) φ(n) is the Euler function.（1~n) Andn
X1，X2 …… Xφn is1~nandnaX1，aX2 …… aXφn
naX1≡aX2（mod n） n |（ aX1 – aX2 ）a，n（X1 – X2）< nn（ aX1 – aX2 ）aX1≡aX2（mod n）.” Induction: for arbitrary andnXi φn Xi mod n（i=1~φn） φn different remainder, and all modules are natural.（0~n-1）。
aXi（mod n）na withnXi is（1~n） withna*XinaXi andngcd（aXi，n）==1gcd（aXi，n）== gcd（n，aXi%n）== 1
aX1（mod n），aX2（mod n） …… aXφn（mod n）1~n withn mutual
{ aX1（mod n），aX2（mod n） …… aXφn（mod n）}{ X1，X2 …… Xφn }
aX1（mod n）* aX2（mod n）* …… * aXφn（mod n）= X1 * X2 * …… * Xφn
aX1 * aX2 * …… * aXφn≡ X1 * X2 * …… * Xφn （mod n）（aφn -1）X1 * X2 * …… * Xφn ≡ 0 （mod n）
X1 * X2 * …… * Xφn（aφn -1）| n“.aφn≡1（mod n）.” The Euler theorem is proved.
for prime numberspap≡a（mod p）
> becausea ≡ a（mod p）ap-1 mod p == 1p
n-1″, so according to Euler’s theorem: if a and N are a, the coprime isp-1 mod p == 1establish
